20. yüzyılın başlarında, elektronların dalga özelliklerine sahip olduğu kanıtlanmış ve dalga-parçacık ikiliği doğa anlayışımızın ayrılmaz bir parçası haline gelmiştir. Bu tür elektron dalgalarının davranışını tanımlayan matematiksel modellerin, gerilmiş bir tel üzerindeki dalga gibi klasik dalgaları tanımlayan modellere benzer olması beklenir.
Dalga Fonksiyonunun Doğası ve Postulatlar
Kuantum mekaniğinin temel postulatlarından biri, bir parçacıktan oluşan fiziksel bir sistem için onunla ilişkili bir dalga fonksiyonunun mevcut olmasıdır. Bu dalga fonksiyonu, sistem hakkında bilinebilecek her şeyi belirler. Dalga fonksiyonunun, belirli bir konum ve zamanda parçacığı bulma olasılığının kesin bir değerini garanti etmek amacıyla, konum ve zamanın tek değerli bir fonksiyonu olduğu varsayılır. Dalga fonksiyonu karmaşık (kompleks) bir fonksiyon olabilir; zira parçacığın belirli bir durumda bulunmasına dair gerçek fiziksel olasılığı belirleyen şey, fonksiyonun kendisi ile karmaşık eşleniğinin çarpımıdır.
Bu kısıtlamalar, çözümlerin sınır koşullarına uygulanır ve bu süreçte enerji özdeğerlerinin (eigenvalues) belirlenmesine yardımcı olur.
Olasılık Genliği ve Normalizasyon Koşulu
Dalga fonksiyonu, bir parçacığın uzayda belirli bir noktada ve belirli bir zamanda bulunma olasılık genliğini temsil eder. Parçacığı bulmanın gerçek olasılığı, dalga fonksiyonu ile onun karmaşık eşleniğinin çarpımı ile elde edilir (bu, karmaşık bir fonksiyon için genliğin karesine karşılık gelir).
Parçacığı uzayın herhangi bir yerinde bulma olasılığı kesinlikle 1'e eşit olması gerektiğinden, dalga fonksiyonu normalize edilmelidir. Diğer bir deyişle, tüm uzay için olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Bu durum matematiksel olarak belirli bir integral ile ifade edilir.
Schrödinger denkleminden hesaplanan dalga fonksiyonunu herhangi bir fiziksel gözlemlenebilirin değerini belirlemek amacıyla kullanabilmek için, tüm uzay üzerinden entegre edilen olasılığın bire eşit olması, yani fonksiyonun normalize edilmesi şarttır.